一些關於中國古代術數的數學理念的札記 （一）

（一）

關於發現新的數學的可能。

我們現在對於數學的理解，來自於現代科學的框框，也只是通過現代的數學來看待數學這一門學問。這種框框必然把數學當作現代自然科學的一部分來看待，也必然侷限在現代自然科學研究範圍的框框中來談論、研究數學，同時，也使數學沒有逃脫現代自然科學對於自然、宇宙、生命、人類和社會歷史的侷限看法，最終導致數學的研究走入了現代人研究科學的框框中——也就是認識了一種事物以後才去研究他。

現代人一般是把計數和度量當作數學的全部範疇。所以，數學史家們在研究數學史的時候，一般從人類怎樣發明記數的符號和文字開始研究，然後就是關於記數的方法和各種測量的工具等等的考古發現，最後就是關於古代一些關於現代數學的定理、公式、方程式等等的發現。

比如，我看了一個關於數學大事年表的排列，截取一段給大家瞧一瞧，見表【注1】：


時間 國家 內容

前4000 中國 西安半坡遺址出土陶器上有許多刻符，據考證有些是數字刻符。

前3000 前1700 巴比倫 巴比倫的數學記載：建立60進位計數法與記數符號，使用簡單的乘法表、平方表、立方表和倒數表；出現簡單的二次方程，利用相似原理計算三角形與梯形的邊長等。

前3000 埃及 像形數字，採用10進位記數。

前2698 前2357 中國 屍佼《屍子》稱：「古者倕為規、矩、準、繩，使天下放焉「。相傳倕為黃帝時代人，規、矩、準、繩雖為四種幾何工具，但可說明，當時已有方、圓、平、直等概念。

前2400 前1600 巴比倫 早期巴比倫泥板楔形文字，掌握某種開平方的方法，已知勾股定理並給出若干組勾股數。

前2200 中國 據《易經》所載，有《洛書》、《河圖》等數學文獻。

前2000 中國 山東省城子崖遺址出土陶器上有數字刻符。

前1900 埃及 埃及的數學載：解形如ax^2=b的方程；出現表示加法、減法和平方根的符號；求三角形、梯形的面積和棱柱體的體積；用A=〔〔8d〕/q〕^2求圓面積〔d為直徑〕，取pi=3.16；出現含有等差數列、等比數列，比例分配等內容的問題。

前1850 前1650 埃及 紙草書〔莫斯科紙草書與萊茵德紙草書〕，使用10進非位值制記數法。

前1400 前1100 中國 周公〔公元前11世紀〕、商高時代已知勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。

前1400 中國 殷商時代甲骨文卜辭中，已有十進：數字的記錄，其中最大的數字為三萬。

前600 中國 陳子已知勾股定理的一般形式。

前600 希臘 泰勒斯將埃及的實用幾何帶入希臘，開始證明幾何命題。

前585 前400 希臘 畢達哥拉斯學派對數與圖形進行廣泛的探究。

前550 前340 中國 籌算的產生。

前550 前340 中國 《墨經》給出若干幾何概念和命題，因而一般認為它記載了中國最古老的幾何知識。

前550 前340 希臘 畢達哥拉斯學派發現勾股定理及不可公度比；詭辦學派的尺規作圖的三大問題：齊諾的悖論；安提豐提出窮竭法；泰奧多勒斯的無理數；攸多克薩斯創比例論；亞里士多德創邏輯學；門內馬斯的圓錐曲線研究。


對於中國古代數學，中國數學史家一般以《周髀算經》為始點，認為他是中國現存最早的一部數學典籍，專家考證成書時間在周漢期間，跨度大。嚴格說來，《周髀算經》是一部天文著作，因為要討論天文曆法，而敘述了一些有關的數學知識；其中重要的題材有勾股定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數四則運算。當然，也有以《九章算術》為始點。另外，也有把20世紀80年代發現的《算術書》作為開始。

再如，現代數學發現了極限理論以後，回過頭來看中國的公元前300年的莊子的一句話：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」（《莊子·天下篇》，有學者認為是無限分割理論，極限的概念不夠恰當），就認為早在莊子時代就有了極限觀念了。這就是所謂的典型的發現。也即現代科學的發現出來以後，才承認古人早有認識；而不是因為古人早有認識，卻因為不相信他，及到現代科學發現了才趕緊承認他，吹噓他。相同的情況也是：對於《周易》的數學文化內涵，基本也停留在近代人發現的二進位的思想基礎上作闡述。現在的研究者也已經開始發現，單以二進位的角度來闡釋《周易》的數學思想是不充分的、不完整的，甚至有曲解的意義在裡面，因為從二進位的角度來看《周易》就變成了是由於二進位的發明才能去理解《周易》了，也就是用二進位思想代替了《周易》的思想了。

這些都是用現代數學或現代科學的理論與觀念來看待數學的歷史發展的；而沒有發現或認識到的東西一概視而不見。由於現代科學的發展，現在，對於數學的定義已經和以往有所不同了。現在對數學的定義是：

數學最早是研究量、結構、變化以及空間模型的學科。在現代，數學又是利用邏輯形式研究現實世界的空間形式和數量關係的學科，儘管對某一特定結構的研究往往屬於自然科學，特別是物理學的範疇。同時由於數學自身的發展，數學家也要研究純粹屬於數學內部的結構。【注2】

就例如那個著名的勾股法，這是人的肉眼所看到的固定空間的幾何形式，在這種情況下才能進行計算。而一旦超出一點點肉眼所看到的固定空間，包括觀念中的設想的空間，勾股法就不適用了。那麼，如果一個人不相信有超出人的肉眼所看到的空間的存在的時候，就會不可能發現超出肉眼看到的空間數學模式了。不過，這裡不是貶低勾股法；這種勾股法對於人類的生存空間還是有具體的實際的功用的。

可以看出來，數學的思想內涵也在不斷的向各種方向延伸；特別在物理學上，各種事物的物理結構的發現往往也能開闢出新的數學模式的誕生。這種延伸在數學領域中，將發生許多變革，包括對於數學自身的思想的重新反省。

然而，中國古代的學人並不是這樣看待數與數學的。

首先，「數」是宇宙萬物的直接體現。當然，嚴格來說，「數」就在宇宙萬物本身之中；反過來也可以這麼說，因為宇宙萬物的運動是有規律的、有定數的，所以更加能夠用「數」來體現萬物。

其次，在這裡，需要解釋「數」與「數字」的區別是：「數」 一般是通過「數字」來表現的，但也可以用別的方式來表現，所以「數」並不完全等同於「數字」。舉個例子：像《周易》中的八卦，你可以隨意掂出一卦，如乾卦、巽卦，這是可以通過卦象知道他們相應代表的數字的；但是卦象的內涵卻不等同於數字的內涵。那麼，也就是說，「數」的內涵是「數字」不能完全表現出來的，或者說「數字」只能小部分的、局部的表現了「數」的內涵。所以，二者是不能等同起來的。古人也是不把「數」完全等同於「數字」一意，只要是能表現出一定規律的內涵都稱為「數」。

第三，實際上，「數」還有「規律、命運」的含義，只不過現代語言學家把此義當作引申義來對待。然而，在此處，這個所謂的「引申義」卻是理解「數」的關鍵所在。所以，當我們把「數」的計算、規律、命運等內涵一起應用，就能知道古代人怎樣對於「數」的全面的、整體的、正確的把握。《漢書•律歷志》曰：「數者，一十百千萬也，所以算數事物，順性命之理。《書》曰：‘先其算命。’……探賾索隱、鉤深致遠，莫不用焉。」可見，算數與「性命之理」、與「算命」是有密切關聯的。而「性命文化」與數學之間的關係，對於被現代思想思維著的人或研究者來說，這是一個充滿迷霧的領域，是有待開拓與發掘的。

南宋秦九韶在《〈數書九章〉序》中說，數學「大則通神明，順性命；小則可以經世物，類萬物」，「今數術之書，尚餘三十家。天象歷度，謂之‘綴術’；太乙壬甲，謂之‘三式’，皆曰內算，言其秘也。《九章》所載，即周官‘九數’；繫於方圓者，為‘叀（讀： zhuān ?）術’，皆曰外算，對內而言也。其用相通，不可歧二。」【注7】

那麼，這裡的「內算」的內涵接近「術數」，主要指天文曆數，太乙、六壬、奇門遁甲三式等等；而「外算」的內涵接近現在意義的「數學」。而《四庫全書總目提要》指出術數的類別中，專門提到一種「數學」，曰：「物生有像，像生有數，乘除推闡，務究造化之源者，是為數學。」這說明「術數」的內涵裡也包括有以數字為模式的「數學」。至於說到「術數」，則是研究命理文化的運算技巧。在這裡，「內算」、「外算」的說法是相對而言的；但是，這兩個的用法是相通的，不可以分歧、分離他們。那麼他們二者之間的緊密聯繫，在筆者看來，就跟「數字」及部分基本運算規則（如：加減乘除）的應用是一致的，也是不可分開的使用的。當然，可能還有其他相似的、相通的因素，這有待研究。

從這三點來看，數學這個學科知識體系是與文化緊密相關的，現代的許多數學家、哲學家已經意識到這個現象的真實性。那麼，我們可以看到或者能夠預見到，數學的內涵將會因為不同文化的內涵的擴展而被發掘出來，同時，不同的文化內涵本身另產生有其相應的數學內涵的展現。就像「性命文化」內涵在中國古代時段是很發達的、也被人們很廣泛的應用和流傳；所以，要瞭解、明瞭中國古代數學的真實情況，則需要透徹中國古代文化的實質。要想發現或者發明新的數學，首先必須有新的文化內涵在人間出現，才有這種可能性。
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