中國古代的天才數學家(圖)
關於中國人對於世界科學史的貢獻,經常被提起的不外四大發明之類,其實還有一些不那麼著名的貢獻,也確實是由中國人作出,並且得到西方學者承認的。例如「中國剩餘定理」——這是西方數學史著作中對一次同余式定理的稱呼。因為關於這個問題最先出現於中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》中,所以又被稱為「孫子定理」。
對於這個問題,歷史上的西方數學家也做過大量研究,但最重要的貢獻由南宋數學家秦九韶作出。現今的數學史著作幾乎都會提到秦九韶和他的數學著作《數書九章》。在今四川安岳(這裡被認為是秦的故鄉)還有秦九韶紀念館,甚至還命名了一所「秦九韶中學」。但對於秦九韶究竟是何等樣人,除了「偉大的數學家」之外,通常就諱莫如深了。用現代的眼光看,秦九韶可能是中國歷史上少見的奇人之一。
所謂「一次同余式」問題,最早可見《孫子算經》卷下第26題:「今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問數幾何?」用現代數學語言表示,就是求解一次同余式組:
N≡R1(mod3)≡R2(mod5)≡R3(mod7)
其解可表示為:
N=70R1+21R2+15R3-105P
這裡P為整數,在上述問題中,R1=R3=2,R2=3,取P=2,得到答案:N=23。
在明朝程大位的數學著作《演算法統宗》中,上述題解被寫成一首在數學史上流傳頗廣的歌訣:
三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,
七子團圓正月半,除百零五便得知。
不能小看這道題目(在數字很小且只有三組的情況下,湊數字也能求出其解),它背後的學問還是很大的。在歐洲,大約在公元10世紀時開始出現討論一次同余式問題的萌芽,而世界科學史上一連串輝煌的名字都曾和這個問題聯繫在一起:例如阿爾哈桑(Ibnal Haithan)、斐波那契(Fibonacci)、歐拉(L.Euler)、拉格朗日(J.Lagrange)、高斯(Gauss)……。後來來華的傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie)將《孫子算經》卷下第26題介紹到了歐洲,1874年L.Methiesen發表文章,指出《孫子算經》中的解法與高斯定理相合,於是西方人將其定名為「中國剩餘定理」。
古代中國人注重實用,這個一次同余式問題也不是只拿來做數字遊戲的。說大一點,它和中國古代的政治大有關係。中國古代將天文曆法看作極其神聖的事物,在早期這曾經是王權確立的必要條件之一,後來則長期成為王權的象徵。而在中國曆法史上,曾有很長時期追求一個理想的時間起算點——這個起算點要從制定某部曆法的當年向前逆推,被稱為「上元積年」。在這個起算時刻,日、月、五大行星都恰好位於它們各自週期的起點,同時這個時刻又恰好是節氣中的冬至,而這個時刻所在的這一天的紀日干支又要恰好是「甲子」,如此等等。要滿足這麼多的條件,就需要求解一個多達9項的一次同余式組,在沒有計算機的時代,求解的計算工作量將達到駭人的地步。數學史家相信,在《孫子算經》中上述趣題出現之前,中國曆法中已經使用一次同余式組來求解上元積年了。而南朝祖沖之《大明歷》中的上元積年,就被認為是解算9項一次同余式組而獲得的。唐代一行《大衍歷》中的上元積年年數竟達96,961,740年,也被認為是求解一次同余式組而獲得的。但是祖沖之和一行等人究竟是如何解算的,卻一直沒有人能夠知道。
在這個問題上最重要的理論貢獻,就是由秦九韶(公元1202∼1261)做出的。他在《數書九章》中給出了「大衍求一術」——即一次同余式問題的系統解法(用他的方法確實可以求出《大衍歷》中的上元積年,儘管這還不足以證明一行就是用的這種方法)。這被認為是中國古代數學中的一項偉大成就,在世界數學史上也可以佔據一席之地。
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