算术漫谈:八卦中的数字规律(图)

2009-05-16 03:06 作者: 九数

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八卦

说起八卦,对中国人来说,实在是太熟悉了,历代的数术文化都在运用八卦演易。

在古代的时候,人们一直是将八卦配上数字使用,常见的有先天八卦卦序数,将八卦映射到从一开始的八个数;也有后天八卦配上洛书九宫数,这个映射多了点内容,因为八卦配九数,那要求有个卦要对映两个数字。

有个非常实际的例子,我们搜索正见网针灸类文章,有一篇《中医基础:灵龟八法》,这篇文章讲的就是后天八卦配上洛书九数,结果在针灸中有着奇妙的运用。

和所有的中国数术文化一样,八卦同样只运用九数,没有复杂的计算,更谈不上近代的西方数学。

那么,八卦在西方数学眼中会是什么样的呢?不用太多的例子,我们只搜集两个非常有趣的数字规律,涉及的数学内容,在西方文化中都是极具典范意义的。

规律之一:二進制与阴阳爻

西方人,莱布尼兹发明了二進制,这个方法只用0和1两个数码表示数。比如,六十四表示为1000000,三十二表示为100000。对今天的人来说,这是电脑数学。

莱布尼兹的时代,正是中国的清朝。那时候,有个传教士在中国,给莱布尼兹写了封信,信里面画了伏羲六十四卦方圆图。

莱布尼兹看了后,得出的看法是,他所发明的二進制竟然在更古老的时候,就被东方的圣人所认识。

具体的内容,看上去很简单,将阳爻换成1,阴爻换成0,那么八卦就成了二進制表示数。按照这个办法,结果就将自下而上的卦爻转换成了自左至右的数字。

乾卦,表示111;兑卦,表示110;
离卦,表示101;震卦,表示100;
巽卦,表示011;坎卦,表示010;
艮卦,表示001;坤卦,表示000。

这样,八卦就演变成了二進制中全部的三位数。类似的,六爻卦有六十四个,正好表示了二進制中全部的六位数。

莱布尼兹的这个发现非同小可,他甚至说:

现在如有一圣人欲选择一优秀民族,加以奖励,那么,他的金苹果的赐与,一定会落到中国人的身上。[1]

规律之二:八周期与黄金比

在西方历史上,人们很早就认识了黄金比,近似的数值是0.618。这个数字经常出现在一些艺术作品中。黄金比的准确数值,是个不循环的无限小数,可以有分数来近似的表示。

和黄金比相关的是一个著名的数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,这个数列可以无止境的写下去,规律是相邻的两个数,其和正好是紧接在后面的一个数。
0+1=1;1+1=2;1+2=3;2+3=5;......
这个数列被称作斐波那契数列,任取相邻的两个数,前一个与后一个的比值可以近似的表示黄金比,而且越靠后,越接近黄金比的真实值。

实际演算正是如此:1/2=0.5;3/5=0.6;8/13=0.61538...;
89/144=0.618055...;987/1597=0.618033...;
黄金比=0.618033...。

非常有趣的是,这个数列竟然可以和八卦沟通上。在"规律之一"的基础上,将每个卦的阴爻数目(或阳爻数目)罗列出来。实际上,相当于统计那些三位数中0与1的个数。

乾卦,表示111,阳爻三,阴爻零;
兑卦,表示110,阳爻二,阴爻一;
离卦,表示101,阳爻二,阴爻一;
震卦,表示100,阳爻一,阴爻二;
巽卦,表示011,阳爻二,阴爻一;
坎卦,表示010,阳爻一,阴爻二;
艮卦,表示001,阳爻一,阴爻二;
坤卦,表示000,阳爻零,阴爻三。

按照先天八卦的顺序,从乾卦开始,反时针方向排列八卦,顺序如下:乾卦、兑卦、离卦、震卦、坤卦、艮卦、坎卦、巽卦,巽卦过了回到乾卦,如此构成环状排列。

现在,可以写出八卦和上面数列的对照表了。

乾卦,表示111,阴爻零,0,21,987
兑卦,表示110,阴爻一,1,34,1597
离卦,表示101,阴爻一,1,55,2584
震卦,表示100,阴爻二,2,89,4181
坤卦,表示000,阴爻三,3,144,6765
艮卦,表示001,阴爻二,5,233,...
坎卦,表示010,阴爻二,8,377,...
巽卦,表示011,阴爻一,13,610,...

这张表的要点在于,每行写入的数,除以3的余数,正好是该行卦中阴爻的数目。其中阴爻为零和阴爻为三,在同余意义下等效,都表示该行的数正好是3的倍数。

八卦是东方人得天独厚的文化,站在西方数学角度来看,竟然也是如此有趣。

参考文献

[1] [日]五莱欣造著 《儒教对于德国政治思想的影响》刘百闵、刘燕谷译 商务印书馆,1938.260)


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