谁是那个倒霉蛋儿:北京上牌平均需要无穷年


北京的治堵方案终于出台——购买机动车必须先摇号,每月只“放号”2万个。想买车的朋友们可就慌了:如果一辈子都摇不中该咋办?市交通委副主任新闻发言人李晓松解释说,“每月一次摇号机会,没中的人可以一直在摇号池里摇号,我相信肯定会摇中。”

细想一下就会发现,这并不能解决问题:如果所有没中的人都会一直留在摇号池,摇号池中的号码就会越积越多,中奖概率也越来越低。按照每月新增5万人申请摇号来算[1],首月中奖概率高达2/5=40%,剩下的3万人继续留在摇号池中;到了第二个月,又会新增5万人,因此摇号池中的号码会增加到8万,中奖率降低到了25%。照这样推下去,到了第6个月,中奖率会降到10%,一年之后中奖率会降到5%以下。

摇号上牌可谓是真正的人品大比拼,如果第一个月就申请了摇号,一年内摇中的概率有八成,剩下两成的倒霉蛋只能面对越来越渺茫的希望仰天长叹。自然,我们想到了一个有趣的问题:如果第一个月就申请了摇号,那么平均需要多少年才能中奖呢?果壳网死理性派告诉你,答案是——永远。下面我们就来证明,只要每月新申请摇号的人数达到4万人,中奖需要的平均时间就已经是无穷了。

稍作计算便可得知,如果第一个月便申请摇号,并且假设每月新增摇号人数4万人,则第一个月中奖的概率是1/2,前两个月内中奖的概率就是2/3,容易看出,在前n个月内中奖的概率就是n/(n+1)。我们可以用数学归纳法来证明这一点。假设n=k-1时命题成立,也就是说在前k-1个月内中奖的概率的确是(k-1)/k。由于第k个月的中奖概率是

因此在前k-1个月都没中奖,正好在第k个月中奖了的概率就是

因此,前k个月的中奖概率就是

正好符合我们之前给出的公式。

在前面的推导过程中,我们知道了,在前k-1个月都没中奖,正好在第k个月中奖的概率是

也就是说,有1/(1×2)的概率在第一个月中奖,有1/(2×3)的概率到了第二个月才中奖,有1/(3×4)的概率要到第三个月才中奖,等等。因此,中奖平均需要的时间也就是

而无穷个1/2的和显然是无穷大,因此要想中奖,平均需要无穷多个月!

当然,在这个问题中,绝大多数人都会在一两年内摇中,只是极个别永远摇不上的倒霉蛋把平均时间拖到了无穷远。因此,大家也不必太紧张,几乎所有人中奖所需时间都会早于这个平均值的。
 



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